Geometría afín y proyectiva

  • General

    Geometría afín y productiva

    ALBERTO CASTELLÓN SERRANO

    Departamento: Álgebra, Geometría y Topología. Universidad de Málaga

    Área de conocimiento: Álgebra.

    Nivel: Segundo  de Licenciado en Matemáticas.
    Fecha de última revisión: febrero de 2013.

    Horas de clase de teoría:  40       Horas de clase de práctica:  30

    Tiempo total previsto de aprendizaje: 250 h.

    Período de impartición de la asignatura: Segundo cuatrimestre 2010-11 y anteriores.


     

    DESCRIPCIÓN GENERAL DE LA ASIGNATURA

    Esta fue una asignatura obligatoria del primer ciclo de la Licenciatura en Matemáticas (titulación extinguida). Si en primer curso se abordaban los conceptos básicos del álgebra lineal y la geometría (espacios vectoriales, tranformaciones lineales, formas bilineales, espacio afín y euclídeo), en esta materia se completaba la formación básica en geometría que ha de tener todo matemático estudiando la geometría proyectiva, y la afín, dentro de la proyectiva.


    PRERREQUISITOS Y CONOCIMIENTOS PREVIOS RECOMENDADOS

    Prerrequisitos

    Para cursar esta asignatura es necesario haber superado las materias troncales de álgebra lineal y álgebra de primer curso de Matemáticas. En concreto, ha de conocerse la teoría básica sobre espacios vectoriales, aplicaciones lineales y formas bilineales y cuadráticas.

    Tiene intereses comunes con Topología general y Geometría Euclídea, y resulta imprescindible para abordar la Geometría algebraica. La geometría afín y proyectiva, al ser uno de los pilares básicos de la matemática, se usa en otras muchas materias de geometría, álgebra o análisis.

     

    OBJETIVOS: CONOCIMIENTOS Y CAPACIDADES. COMPETENCIAS

    Competencias transversales/genéricas

    Capacidad de análisis y de síntesis * Creatividad * Comunicación oral y escrita * Resolución de problemas * Capacidad de aplicar los conocimientos teóricos en la práctica.

     

    Competencias específicas

    • Habilidades cognitivas, tanto en los métodos geométricos sintéticos, como analíticos.
    • Desarrollar una "intuición proyectiva" frente a la "intuición euclídea" propia del mundo físico en que vivimos.
    • Conocimientos de informática relativos al ámbito de estudio.
    • Consulta y búsqueda de bibliografía sobre la materia.
    • Visión espacial.

     Objetivos

    • Conocer los resultados sobre los que se fundamenta la geometría proyectiva (teorema fundamental, principio de dualidad, etcétera).
    • Familiarizarse con los métodos analíticos en geometría.
    • Resolver problemas teóricos y prácticos por métodos sintéticos.
    • Aprender a usar programas de "matemáticas dinámicas" (CABRI Géomètre, CABRI 3D).
    • Entender los conceptos clave de la geometría proyectiva.
    • Ver la geometría afín dentro de la geometría proyectiva.
    • Comprender la geometría en términos de transformaciones geométricas.


    METODOLOGÍA

    Se enfoca la geometría proyectiva desde los puntos de vista sintético y analítico. Estos últimos métodos se utilizan de forma puntual para ahorrar razonamientos en exceso fatigosos, continuando con la teoría según métodos sintéticos. Todos los razonamientos sintéticos se apoyan mediante el programa CABRI Géomètre de matemáticas dinámicas. En cada capítulo hay algunas cuestiones de la teoría que se dejan al alumno para que las resuelva él mismo, una relación de ejercicios, tanto de tipo práctico (calcular, hallar, encontrar...) como más teórico (demostrar, dar contraejemplos, examinar la veracidad de afirmaciones...), así como varias prácticas para realizar con CABRI Géomètre. El programa se divide en 4 bloques y dos apéndices. El bloque 1 (tema 1) se dedica a una visión histórica de la geometría analítica versus geometría sintética, así como se dan las instrucciones básicas para usar CABRI Géometre II Plus. En el bloque 2 (temas 2 y 7) se incluyen, a modo de repaso, los contenidos de álgebra lineal dados en el curso anterior, imprescindibles para abordar la asignatura. En el bloque 3 (temas 4, 5 y 6) se desarrollan los fundamentos de la geometría proyectiva. El bloque 4 (temas 8, 9 y 10) se estudian las cuádricas proyectivas y afines. Los apéndices (temas 11 y 12), no son obligatorios, sino que se incluyen para ampliación voluntaria por parte del alumno.


    MATERIAL DE CLASE

    Además de los apuntes, las relaciones de ejercicios y la bibliografía, los estudiantes disponen de un completo "Cuaderno de prácticas" en el que han de resolver multitud de ejercicios usando CABRI. Gran parte de los ejercicios teóricos son de elaboración propia, así como modelos de exámenes propuestos. Aparte de los apuntes, las relaciones de ejercicios y el cuaderno de prácticas, todos ellos en ficheros pdf, se incluyen algunas simulaciones dinámicas en CABRI Géometètre II+.

     

    CRITERIOS DE EVALUACIÓN Y DE CALIFICACIÓN. ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN O TAREAS PRÁCTICAS

    La evaluación contempla las siguientes eventualidades:

    * Participación en clases prácticas donde el alumno expone en la pizarra los problemas que ha resuelto.

    * Entrega de las prácticas propuestas para resolver con CABRI.

    * Examen.

    • Tema 1: Geometría sintética versus analítica.

    • Tema 2: Elementos de álgebra lineal.

    • Tema 3: Elementos de geometría afín y proyectiva.

    • Tema 4: Proyectividades. Involuciones. Afinidades.

    • Tema 5: Teoremas de configuración.

    • Tema 6: Geometría ortogonal.

    • Tema 9: Perspectiva cónica.

    • Tema 10: El teorema fundamental.

    • SOBRE EL PROFESOR

    • PROPIEDAD INTELECTUAL

      Copyright 2012, autores y colaboradores. Reconocer autoría/Citar obra: Castellon, A. (2012). Geometría afín y proyectiva.  Retrieved [fecha de hoy], from OCW Universidad de Málaga Web site: http://ocw.uma.es/course/view.php?id=50.

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